10.26731/1813-9108.2017.3(55).22-30
В статье обсуждается возможность существования решений с положительными элементами неоднородной системы линейных алгебраических уравнений с заданной квадратной матрицей и неопределенной правой частью уравнений при предположении их положительных значений. Исследование проведено на матрицах второго и третьего порядков. Предложены два способа нахождения решений: аналитический и матричный. Первый способ создан для получения решений системы неравенств. Его основу составляют элементарные преобразования, в результате которых исключается часть переменных из системы неравенств, упрощая анализ решения вопроса существования решений для системы неравенств. Для него составлена последовательность проведения вычислительных операций по исследованию решений системы линейных алгебраических неравенств: получение решений или установление невозможности их существования; приведен алгебраический критерий, выражающий необходимые условия существования решений системы неравенств.
Второй матричный способ опирается на основные матричные свойства: собственные значения матриц и собственные векторы матрицы A. Показано, что достаточные условия существования положительных решений исходной системы линейных алгебраических уравнений основаны на положительных собственных значениях матрицы A и соответствующих им собственных векторах правостороннего преобразования подобия, приводящего матрицу A к нормальной форме Жордана. При этом допускаются кратные корни с непростыми элементарными делителями. Аналогичные свойства установлены для комплексных собственных значений с положительной вещественной частью.
Достаточные условия отсутствия вещественных решений системы линейных алгебраических уравнений выявляются при отрицательных собственных значениях матрицы A и соответствующих им собственных векторах левостороннего преобразования подобия, приводящего матрицу A к нормальной форме Жордана. Подобные свойства проявляются и для комплексных собственных значений с отрицательной вещественной частью.
Для матриц третьего порядка необходимые и достаточные условия невозможности существования вещественных решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений выражаются знакоопределенностью связки специальным образом составленных трех квадратичных форм от шести переменных, имеющих вид полных квадратов. В таком же контексте необходимые и достаточные условия существования вещественных решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений формулируются знакопеременностью связки трех упомянутых квадратичных форм.
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Т. 2. М.-Л. : Изд-во АН СССР, 1956. С. 7–263.
2. Четаев Н.Г. Устойчивость движения; работы по аналитической механике. М. : Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.
3. Летов А.М. Устойчивость регулируемых систем. М. : Физматгиз, 1962. 483 с.
4. Летов А.М. Математическая теория процессов управления. М. : Наука, 1981. 255 с.
5. Зубов В.И. Устойчивость движения. М. : Высшая школа, 1963. 270 с.
6. Каменков В.Г. Устойчивость движения; колебания, аэродинамика. Т. 1. М. : Наука, 1971. 255 с.
7. Каменков В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. Т.2. М. : Наука, 1972. 213 с.
8. Малкин. И.Г. Теория устойчивости движения. М. : Наука, 1966. 530 с.
9. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М. : Наука, 1967. 472 с.
10. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М. : Наука, 1971. 312 с.
11. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М. : Наука, 1973. 206 с.
12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. 576 с.
13. Березин И.С. Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. М. : Физматлит, 1959. 620 с.
14. Новиков М.А. Связь знакоопределенности с приведением к полным квадратам пучка двух квадратичных форм // Вестник Бурят. гос. ун-та. Сер.: Математика и информатика. 2015. Вып. 9. С. 7–15.