10.26731/1813-9108.2017.3(55).8-16
Каждое деформируемое твердое тело обладает своей индивидуальной (реальной) геометрией и неоднородностью механических характеристик материала (сталь, чугун, бетон, пластик, композит и др.). Особое место в этом отношении занимают деформируемые тела природного происхождения (горные породы, костная ткань и другие). Для более точной идентификации представленных тел, с целью создания их математических моделей, предназначенных для расчётов прочности, жесткости, устойчивости и других параметров, построенных, например, на основе метода конечных элементов (МКЭ), в настоящее время предложены методы их сканирования [1]. Одной из наиболее развитых в этом отношении технологий является компьютерная томография (КТ). Однако и её применение связано с проблемой, заключающейся в том, что необходимая информация о свойствах материала деформируемых тел и их геометрии предоставляется в некотором наборе плоских сечений, содержащих растровые изображения, тогда как, пространство между сечениями остается не идентифицированным. Сами сечения, даже стоящие рядом, могут отличаться по геометрии и изменениям в картине их пиксельной характеристики.
В настоящей работе для решения представленной проблемы предложен комплекс методик и математических моделей, предназначенных для интерполяции геометрии и свойств материала деформируемого тела в пространствах между сечениями с растровым изображением. Полученные результаты используются при построении конечно-элементной (КЭ) модели твердого тела и анализе его напряженно-деформированного состояния (НДС). В качестве объекта исследования используется фрагмент бедренной кости человека. Этот выбор обусловлен двумя причинами: явно выраженной неоднородностью материала и геометрии кости, а также интенсивным развитием современной технологии сканирования КТ. В дополнение к математическим моделям интерполяции, в работе проведено исследование точности сходимости численного решения МКЭ при аппроксимации пространства интерполяции различными типами КЭ объемного НДС: гексаэдр и тетраэдр. Последний представленный тип КЭ используется при значительной степени отличия геометрии соседних сечений. Исследование показывает, что по сходимости и затратам ресурсов ЭВМ численное решение на основе тетраКЭ уступает решению на основе КЭ типа гексаэдра, однако из пределов применимости для представленной задачи не выходит.
Each deformable solid has its individual (real) geometry and inhomogeneity of the mechanical characteristics of its material (steel, cast iron, concrete, plastic, composite, etc.). In this respect, the deformable bodies of natural origin (rocks, bone tissue and others) have a special place. At present, methods for their scanning [1] have been proposed to more accurately identify the presented bodies, with a view to creating their mathematical models for calculating the strength, stiffness, stability, and other parameters constructed, for example, on the basis of the finite element method (FEM). On this count, one of the most developed scanning technologies is the computed tomography (CT). However, its application gives rise to the following problem: the necessary information of the material properties and geometry is provided in a certain set of flat sections containing raster images, whereas the space between the sections remains unidentified. The sections, even standing side by side, can differ in geometry and in changes in the representation of their pixel characteristics.
In the present work, to solve the presented problem, a complex of methods and mathematical models has been suggested. They are intended for interpolation of the geometry and the material properties of the deformed body in the spaces between sections with the raster image. The obtained results are used to construct a finite-element (FE) model of a solid body and analyze its stress-strain state (SST). As a subject of research, a fragment of the human femur is used. This choice is due to two reasons: the significant heterogeneity and the geometry of the bone, as well as the intensive development of modern CT scanning technology. In addition to the mathematical models of interpolation, the accuracy of the convergence of the numerical solution of the FEM with approximation of the interpolation space by various types of FE of a solid SST is studied. They are the hexahedron and the tetrahedron. The last type of presented FE is used in a significant degree of difference in the geometry of neighboring sections. The study shows that the numerical solution based on the FE tetrahedron has less effect than the solution based on the FE hexahedron by the convergence and cost of computer resources. However, it does not go beyond the applicability limits for the presented problem.
1. Pykhalov A. A., Pashkov V. P., Zotov I. N., Kuvin M. S. Sposob opredeleniya znachenii modulya uprugosti i ego raspredeleniya v konstruktivnykh elementakh, obladayushchikh neopredelennymi svoistvami prochnosti [A method for determining the values of the modulus of elasticity and its distribution in structural elements with indefinite strength properties]. Patent RF no. 2542918, MPK G06T 1/00 A61B 6/00; patent applicant and holder is FSBEI HE ISTU; applied Oct. 30, 2013; published Feb. 27, 2015. Bull. no. 6.
2. Vainberg I. A. et al. Dostizheniya i problemy promyshlennoi rentgenovskoi tomografii [Achievements and problems of industrial X-ray tomography]. V mire nerazrushayushchego kontrolya [In the world of non-destructive testing], 2009, No.3 (45), pp. 18–20.
3. Zyong Van Lam, Pykhalov A. A. Matematicheskoe modelirovanie i avtomatizatsiya obrabotki izobrazhenii skanirovaniya tverdykh deformiruemykh tel s neodnorodnymi svoistvami materiala i geometrii dlya postroeniya ikh konechno-elementnykh modelei [Mathematical modeling and automation of image processing of scanning solid deformable bodies with inhomogeneous material and geometry properties for constructing their finite element models]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling], 2017, No. 2 (54), pp. 44–50.
4. Pykhalov A. A., Pashkov V.P., Zyong Van Lam. Issledovanie tochnosti chislennogo resheniya metodom konechnykh elementov analiza napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya obraztsov iz materialov s neodnorodnoi strukturoi na osnove dannykh komp'yuternogo tomografa i naturnogo eksperimenta [Investigation of the accuracy of numerical solution by the finite element method for analyzing the stress-strain state of samples from materials with an inhomogeneous structure on the basis of data from a computer tomograph and a full-scale experiment]. VESTNIK IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University], 2017, Vol. 21, No. 4, pp. 47–56.
5. Pashkov V. P., Zotov I. N., Pykhalov A. A. Modelirovanie mekhanicheskikh sistem s neopredelennymi svoistvami materiala s primeneniem metoda konechnykh elementov i komp'yuternoi tomografii [Modeling of mechanical systems with indeterminate properties of a material with the use of the finite element method and computed tomography]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling], 2014, No. 2 (42), pp. 44–50.
6. Trufankov G. E. (eds.). Rentgenovskaya komp'yuternaya tomografiya. Rukovodstvo dlya vrachei [X-ray computer tomography. A guide for doctors]. St. Petersburg: Foliant Publ., 2008, 1200 p.
7. Uten'kin A. A., Sveshnikova A. A. Biomekhanicheskie svoistva kompaktnogo veshchestva kosti [Biomechanical properties of compact matter of bone]. Arkhiv anatomii, gistologii i embriologii [Archive of anatomy, histology and embryology], 1971, No. 10, pp. 45–50.
8. Uten'kin A. A., Sveshnikova A. A. Uprugie svoistva kostnoi kompaktnoi tkani kak anizotropnogo materiala [Elastic properties of bone compact tissue as anisotropic material]. Problemy prochnosti [Problems of Strength], 1971, No. 3, pp. 40–44.
9. Faux I. D., Pratt M. J. Computational Geometry for Design and Manufacture. Ellis Horwood Ltd., 1980, 329 p. (Russ. ed.: Foks A., Pratt M. Vychislitel'naya geometriya primenenie v proektirovanii i na proizvodstve. Moscow: Mir Publ., 1982, 304 p.).
10. Porev V. N. Komp'yuternaya grafika [Computer graphics]. St. Petersburg: BKhV-Peterburg Publ., 2002, 432 p.
11. Rogers D. F. Procedural Elements for Computer Graphics. McGraw-Hill, 1985, 433 p. (Russ. ed.: Rodzhers D. Algoritmicheskie osnovy mashinnoi grafiki. Moscow: Mir Publ., 1989, 512 p.).
12. Rogers D. F., Adams A. J. Mathematical Elements for Computer Graphics. McGraw-Hill, 1989, 611 p. (Russ.ed.: Rodzhers D., Adams Dzh. Matematicheskie osnovy mashinnoi grafiki. Moscow: Mir Publ., 2001, 604 p.).
13. Levitin A. Introduction to The Design & Analysis of Algorithms (2nd Edition). Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc. Boston, MA, 2006. 592 p. (Russ. ed.: Levitin A.V. Algoritmy: vvedenie v razrabotku i analiz. Moscow: Vil'yams Publ., 2006, 576 p.).
14. Zyong Van Lam, Pykhalov A. A., Zotov I. N. Avtomatizatsiya obrabotki izobrazhenii skanirovaniya tverdykh deformiruemykh tel dlya opredeleniya izmeneniya modulya uprugosti i ispol'zovaniya pri postroenii ikh konechno-elementnoi modeli [Automation of image processing scanning of solid deformable bodies to determine the change in the modulus of elasticity and use in constructing their finite element model]. Certificate No. 2016615938, 2014.
15. Pykhalov A. A., Milov A. E. Kontaktnaya zadacha staticheskogo i dinamicheskogo analiza sbornykh rotorov turbomashin [Contact problem of static and dynamic analysis of the rotors of turbomachines]. Irkutsk: IrGTU Publ., 2007, 192 p.
16. Zenkevich O. S. Metod konechnykh elementov v tekhnike [The finite element method in engineering]. Moscow: Mir Publ., 1975, 542 p.