ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ ПРИ СУЩЕСТВОВАНИИ ЧАСТНОГО ИНТЕГРАЛА

Изучение многих механических объектов на транспорте можно моделировать тяжелыми твердыми телами. Для их описания удобнее использовать системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассматривая исследуемые объекты покоящимися на платформе, в вагоне или иных движущихся транспортных средствах, изолированными от влияния диссипативных сил, можно считать систему консервативной. При изучении динамических свойств модельных систем можно опираться на свойства известных консервативных систем, предпочтительно автономных. В таких системах существуют первые интегралы уравнений движения. Среди консервативных систем наиболее популярна задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. В самом общем виде для нее известны первые интегралы: полной энергии, момента количества движения, ингеграл Пуассона. Для трех хорошо изученных случаев существования четвертого общего интеграла известны основные динамические свойства систем: записаны аналитические решения в форме эллиптических или гиперэллиптических функций, найдены асимптотики решений, выделены стационарные движения, проведены исследования их устойчивости в каждом случае. В настоящее время интерес к исследованию привлекают автономные консервативные системы с частным интегралом. Хотя систем с такими интегралами довольно много, прежде всего, изучению подлежит частный интеграл Гесса. В предложенной статье проведено исследование устойчивости стационарных движений твердого тела вокруг неподвижной точки в случае существования частного интеграла Гесса. Одним из стационарных движений рассматривается состояние покоя. Оно является наиболее распространенным на транспорте. При расположении центра масс выше начала координат (осями координат выбраны главные оси тела) показана неустойчивость состояния покоя. Это свойство установлено из существования корней характеристического уравнения возмущенного движения с положительной вещественной частью. Достаточные условия устойчивости устанавливаются вторым методом Ляпунова – построением знакоопределенных функций Ляпунова. В случае центра масс ниже оси координат получено совпадение достаточных условий устойчивости с необходимыми. В этом случае достаточные условия устойчивости устанавливаются линейными слагаемыми дифференциальных уравнений движения. Для перманентного вращения проведено исследование необходимых условий устойчивости в случаях вырождений характеристического уравнения, составленного по матрице линейной части дифференциальных уравнений возмущенного движения. Показано, что вырождения возникают при выполнении равенства Аппельрота, когда существует дополнительный частный интеграл Гесса; без дополнительного интеграла при существовании некоторого соответствия между статическими и динамическими параметрами системы; при одновременном выполнении первых двух случаев. Во всех изученных случаях не накладывается каких-либо дополнительных ограничений на параметры системы, кроме требования к моментам инерции твердого тела. При обработке символьной информации применяется система аналитических вычислений на персональных компьютерах.